Question

在平面直角坐标系中xOy中，已知圆x

在平面直角坐标系中xoy,已知圆x^2+y^2-12x+32=0圆心为Q,过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B

在平面直角坐标系中xoy,已知圆x^2+y^2-12x+32=0圆心为Q,过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B

1 求K的取值范围

2 是否存在常数k,使得向量OA+向量OB于向量PQ共线？如果存在，求k，如果不存在，说明理由

Answer 1

解： 1、圆Q 的方程为x^2+y^2-12x+32=0化为标准式为
(x-6)^2+y^2=4 ①
则Q(6,0)，半径为2，
过点P且斜率为k的直线方程为y=kx+2 ②
直线与圆Q相交于不同的两点A、B，则k≠0
①与②联立，消y得
(k^2+1)x^2+4(k-3)x+36=0, 则k≠0 ③
有两个不同的实根，
则 k^2+1≠0且△=-32k(4k+3)＞0
解得 -3/4＜k＜0
故K的取值范围为{k|-3/4＜k＜0}
2、假设存在符合题意的k，不妨设A(x1,y1)B(x2,y2)则
向量OA=(x1,y1)，向量OB=(x2,y2)，向量PQ=(6,-2)
向量OA+向量OB=（x1+x2,y1+y2）
因为向量OA+向量OB于向量PQ共线，则
(x1+x2):6=(y1+y2):(-2) ④
又 y1+y2=k(x1+x2)+4 ⑤
由③得 x1+x2=-4(k-3)/(k^2+1) ⑥
由④⑤⑥联立解得：k=0或k=3/4不符合题意
故假设不成立，即不存在符合题意的常数k.