Question

设数列｛an｝的前n项和为Sn,若对任意的正整数n都有Sn=3an-5n

（1）求数列｛an｝的首项，（2）求证数列｛(an)+5｝是等比数列，并求数列｛an｝的通项公式，（3）若数列｛bn｝满足bn=[(5n)+10]/(an)+5，且Tn=b1+b2+...+bn，求证
Tn<10

Answer 1

(1)当n=1时，a1=3a1-5
a1=5/2

（2）S(n+1)=3a(n+1)-5(n+1)
S(n+1)-Sn=3a(n+1)-3an-5(n+1)+5n
a(n+1)=3a(n+1)-3an-5
a(n+1)=3/2an+5/2
a(n+1)+X=3/2(an+5/3+2/3X)
令 x=5/3+2/3x
x=5
a(n+1)+5=3/2an+5/2+5=3/2(an+5)
叠乘法
an+5=(3/2)^(n-1) *（a1+5）=（3/2）^（n-1)*（15/2）
an=（（3/2）^n * 5）-5

（3）题目是bn==[(5n)+10]/((an)+5）
则bn=（2/3）^n * (n+2)
Sn=(2/3)*3+4*(2/3)^2+……+（2/3）^n * (n+2)
（2/3）Sn=3*（2/3)^2+……+（2/3）^n * (n+1)+（2/3）^（n+1） * (n+2)

（1/3）Sn==(2/3)*3+（2/3)^2+……+（2/3）^n+ （2/3）^（n+1） * (n+2)
Sn=4+(6 - 3^n/2^n)+(2/3)^（n+1) *（n+1)
3^n/2^n>1，（2/3)^（n+1) *（n+1)<1
Sn＜10

追问

第三问(1/3)Sn那儿是不是算错了、、、、、、、、

追答

我觉得没错 Sn-2/3Sn=(2/3)*3+4*(2/3)^2+……+（2/3）^n * (n+2)
-{3*（2/3)^2+……+（2/3）^n * (n+1)+（2/3）^（n+1） * (n+2)}
方法是对的

追问

最后那个Sn那儿没看懂咋算出来的、、、、、、、、、、、、、、、