Question

若不等式（a^2-1）x^2-(a-1)x-1<0的解集是全体实数，求实数a的取值范围

Answer 1

设Y=（a^2-1）x^2-(a-1)x-1

要使X的取值范围是全体实数时，都有Y<0

所以只要 a^2-1<0且△<0。图像如图

解不等式 a^2-1<0                              △<0

            （a-1)（a+1)<0          (a-1)²-4（a²-1）×（-1）<0

                -1<a<1                     a²-2a+1+4a²-4<0

                                                 5a²-2a-3<0

                                                  (5a+3)(a-1)<0

                                                      -3/5<a<1

综合上述两个不等式解得出：a的取值范围是 -3/5<a<1

所以：当-3/5<a<1时，不等式（a^2-1）x^2-(a-1)x-1<0的解集是全体实数

Answer 2

(a^2-1)x^2-(a-1)x-1<0的解集是全体实数
∴y=(a^2-1)x^2-(a-1)x-1的函数图象在x轴下方
∴a^2-1<0且△=(a-1)^2+4(a^2-1)<0
∴(1-√14)/5<a<(1+√14)/5

追问

那△<=o不行么？

追答

不行！△=0时，y=(a^2-1)x^2-(a-1)x-1的函数图象与x轴有一个交点，那么不等式（a^2-1）x^2-(a-1)x-1<0的解集就不是全体实数！而是要出去交点值
另：△=(a-1)^2+4(a^2-1)<0的解之前解错了，应该是-3/5<a<1
∴综合以上，实数a的取值范围为-3/5<a<1

Answer 3

函数f(x)=（a^2-1)x^2-(a-1)x-1
要满足函数在定义域R上恒有f(x)<0
则二次函数f(x)开口向下，且最高点小于0
所以a^2-1<0 且Delt=(a-1)^2+4(a^2-1)=5a^2-2a-3<0
-1<a<1 且-3/5<a<1
所以-3/5<a<1

若函数f(x)不是二次函数
则a^2-1=0 要满足f(x)=-(a-1)x-1在定义域R上恒有f(x)<0
则a-1=0
解得a=1

综上所述，满足条件的a取值为-3/5<a<=1

Answer 4

1)当a=1时，不等式为

﹣1＜0，不等式成立

（2）当a≠1时，为二次不等式

当a＜0时，△=（a-1)^2－4×（a^2－1）

=﹣3a^2－2a＋5

=﹣（3a＋5) （a－10）

欲使解集为R，则，△＜0

﹣5\3＜a＜10，a＜0

取交，得：

﹣5\3＜a＜0

Answer 5

a^2-1<0
-1<a<1
b²-4ac
=(a-1)²+4(a^2-1)
=a²-2a+1+4a²-4
=5a²-2a-3<0
1 -1
5 3
(x-1)(5x+3)<0
-3/5<X<1
∴-3/5<X<1