Question

求微分方程：y'＋x＝√(x^2＋y)的通解

设y=u*x^2怎么得出结果？
或者设u=√(x^2＋y)怎么得出结果？

Answer 1

设u=√(x²+y)
du/dx=(2x+y')/2√(x²+y)=(2x+y')/2u
故原方程可化为
2uu'-x=u
即u'=1/2-x/2u
设u=xz得u'=z+xz'
即原方程可化为
z+xz'=1/2-1/2z
得-2zz'/(2z²-z+1)=1/x
两边对x积分可得
-∫2z/(2z²-z+1)dz=ln|x|+1
左边被积函数为有理函数，可积
由于过程繁杂，不便写出。
最后回代即可得通解。

追问

u'=1/2-x/2u
这步应该是u'=1/2+x/2u，下面也有错
不过方法给了，我自己做出来了，灰常感谢