Question

求解一道高中数学题、

若函数f(x)=sin²ax-sinaxcosax(a＞0)的图像与直线y=m相切，并且切点的横坐标依次成公差为派/2（就3.14的那个派）的等差数列。
①求m的值
②若点A（a,b）是y=f(x)图像的对称中心，且a属于［0，派/2］，求点A的坐标。

Answer 1

f(x)=(sinax)^2-sinaxcosax
=(1-cos2ax)/2 - sin2ax/2
=1/2-(cos2ax+sin2ax)/2
=1/2-√2(√2/2*cos2ax+√2/2*sin2ax)/2
=1/2-√2sin(π/4+2ax)
∵函数f(x)的图像与直线y=m(m为常数）相切
∴直线y=m必定经过函数f(x)图像的最高点或最低点
而函数f(x)与直线y=m的切点的横坐标依次成公差为π／2的等差数列，即f(x)的周期T=π／2
所以(2π)/(2a)=π／2
解得a=2
∴f(x)=1/2-√2sin(π/4+4x)
当sin(π/4+4x)=1时
f(x)取得最小值1/2-√2
此时y=m=1/2-√2
当sin(π/4+4x)=-1时
f(x)取得最大值1/2+√2
此时y=m=1/2+√2
综上所述：m=1/2±√2
（2）
2π/2a=π/2
∴a=1
∴f(x)=1/2-(√2/2)sin(2x+π/4)
令sin(2x+π/4)=0
∴c=1/2，2b+π/4=kπ
∴b=3π/8
∴A(3π/8，1/2)