Question

已知直线y=-x+1与椭圆x*2/a*2+y*2/b*2=1(a>b>1)相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线l：x-2y=0上。

（1）求此椭圆的离心率；
（2）若椭圆的右焦点关于直线L的对称点的在双曲线y*2/15-x*2/135=1上，求此椭圆的方程

Answer 1

1联立直线椭圆方程 x^2/a^2+(-x+1)^2/b^2=1 (a^2+b^2)x^2-2a^2 x +a^2-a^2b^2=0 中点横坐标
(x1+x2)/2=a^2/(a^2+b^2) 纵坐标(y1+y2)/2=(-x1+1-x2+1)/2=b^2/(a^2+b^2) 且线段AB的中点在直线l：x-2y=0上。 则a^2/(a^2+b^2) -2b^2/(a^2+b^2)=0 a=根号2 b 显然离心率1/根号2

2.设右焦点(c,0) 其关于l的对称点为(p,q) 则q/(p-c)=-2 (p+c)/2 -q=0 解得p=3c/5,q=4c/5
椭圆的右焦点关于直线L的对称点的在双曲线y*2/15-x*2/135=1上 代入双曲线得c=5 e=1/根号2
所以椭圆方程x^2/50 +y^2/25=1