Question

高数简单题

问你个问题 - -

计算曲线积分∫xy²dy-x²ydx 其中L为
（1)圆周x²+y²=1 取逆时针方向
（2）上半圆周y=√1-x²方向从点A（1，0)到B（-1，0）

Answer 1

（1）利用格林公式，把它化为曲面积分进行计算得到∫xy²dy-x²ydx =∫∫（x^2+y^2）dxdy=∫∫1dxdy=S圆=圆周率*1^2=圆周率
（2）添加AB线段，使路径闭合，然后得到∫xy²dy-x²ydx =∫∫（x^2+y^2）dxdy-（∫xy²dy-x²ydx）<x从-1到1；y恒为0>
前半部分的值等于半圆的面积
后半部分变∫xy²dy-x²ydx=∫x*0^2dy-x²*0dx=0
两者相加即得到答案。
不好意思，本来打算写纸上，清楚些，但是没相机拍，所以简单写在这，不懂你可以问我，希望能帮到你。

Answer 2

1. Green公式，∫ xy²dy-x²ydx = ∫∫ (y^2+x^2) dxdy = Pi /2 (二重积分选用极坐标)
2. x=cost, y=sint, t从0变到Pi，化成定积分
I = ∫ 2 (sintcost)^2 dt = (1/4) ∫ (1-cos 4t ) dt = Pi /4

Answer 3

全部设x=sint、y=cost，然后即可求出