Question

已知三角形ABC中,<BAC=2<ACB,点D是三角形ABC中的一点,且AD=CD,BD=BA,探究∠DBC与∠ABC度数的比值

当∠BAC不等于90°时，∠DBC与∠ABC度数比值
过程 谢谢

Answer 1

证明：
作BM∥AC，并使∠MCA=∠BAC
∵∠BAC≠90°
∴∠MCA+∠BAC≠180°
∴AB不平行于CM
又∵BM∥AC，且∠MCA=∠BAC
∴四边形MCAB是等腰梯形
∴AB=CM
∵AD=CD ∴∠DCA=∠DAC
又∵∠MCA=∠BAC
∴∠MCA－∠DCA=∠BAC－∠DAC
即 ∠MCD=∠BAD
∴△MCD≌△BAD（SAS）
∴MD=BD
又∵BD=BA，BA=MC
∴MD=BD=BA=MC
∵∠MCA=∠BAC，∠BAC=2∠ACB
∴∠MCA=2∠ACB
∴∠MCB=∠ACB
∵BM∥AC
∴∠ACB=∠MBC
∴∠MCB=∠MBC
∴MC=MB
∴MB=MD=BD
∴△MDB为等边三角形
∴∠MBD=60°
∴∠BCA=∠MBC=∠MBD－∠CBD=60°－∠CBD
∵∠BAC=2∠ACB=2（60°－∠CBD）=120°－2∠CBD
∵在△ABC中，∠BCA+∠BAC+∠ABC=180°
∴（60°－∠CBD）+（120°－2∠CBD）+（∠CBD+∠ABD）=180°
∴∠ABD=2∠CBD
∴∠DBC：∠ABC=∠DBC：（∠ABD+∠DBC）=∠DBC：3∠DBC=1：3