Question

高数简单问题~

求平面图形面积时，怎么确定θ的取值范围？例如：ρ=aθ中θ范围为0~2派；ρ=a（1+cosθ）（a>0）中θ范围为0~派，为什么呢？请回答详细一些，我比较笨~

Answer 1

你的描述的问题里面有错误，ρ=a（1+cosθ）（a>0）中θ范围就是0~2派，不是0~派。我估计你没有注意对称性，求面积时前面应该还有个2倍在积分外面，因为图形在0~派和派~2派这两段上是关于极轴对称的，计算的时候只算一般就可以了。但是不用对称性，积分的时候从0积分到2派也是可以的。
至于你说的该如何判断θ的取值范围，有一个原则就是使得极坐标方程有意义即可，并且结合θ范围最大就是0~2派。比如说ρ=a（1+cosθ）（a>0）中，θ范围就是0~2派，因为无论θ取何值，ρ都是不小于零的，（严格来讲极坐标中ρ是不能等于零的，但不影响积分求面积），这样，方程就是有意义的了。同理可以知道ρ=aθ中θ范围为0~2派。但是如果ρ=sinθ，θ的范围就有要求了，要保证ρ作为一个长度有意义，则θ的范围就是0到派了。有时方程可能很复杂，里面的约束条件更多，这时就要求使得所有约束都成立的θ才能保证方程有意义。

Answer 2

画出图形，过原点引射线穿过积分区域，看射线与区域的边界只有一个交点（或相切）时，θ的值 α和β，则θ的取值范围是【α，β】。
常用的极坐标图形有：圆、心脏线、双纽线等，这些图形要掌握。