Question

已知函数f(x)满足f(ax-1)=lg^((x+2)/(x-3)),(a≠0) (1)求f(x)的表达式(2)求f(x)的定义域

（3）是否存在a，使f(x)为奇函数或偶函数？若存在，求a

Answer 1

1、令ax-1=t，则x=(t+1)/a，于是f(ax-1)=lg^[(x+2)/(x-3)]可变形为：
f(t)=lg^{[(t+1)/a+2]/[(t+1)/a-3]}=lg^[(t+1+2a)/(t+1-3a)]
因此f(x)=lg^[(x+1+2a)/(x+1-3a)]，(a≠0)；
2、要使f(x)=lg^[(x+1+2a)/(x+1-3a)]有意义，(x+1+2a)/(x+1-3a)>0
当a>0时，f(x)的定义域是{x|x>3a-1或x<-2a-1}；
当a<0时，f(x)的定义域是{x|x<3a-1或x>-2a-1}；
3、f(x)若为奇函数或偶函数，则其定义域应该是关于原点的对称区间，即3a-1=1+2a，得a=2
此时f(x)=lg^[(x+5)/(x-5)]，f(-x)=lg^[(x-5)/(x+5)]=lg^{[(x+5)/(x-5)]^(-1)}=-lg^[(x+5)/(x-5)]，即f(x)为奇函数。故a=2