Question

设0<α<π，且sinα+cosα=1/2，则cos2α的值为?

答案：-(√7)/4

怎么做？谢谢。

Answer 1

解：由sinα+cosα=1/2平方得　1+2sinαcosα=1/4，2sinαcosα＝-3/4＜0，
　　又∵0<α<π，∴sinα＞0，cosα＜0，∴cosα-sinα<0，
　　∵（cosα-sinα)²=1-2sinαcosα=7/4，∴cosα-sinα=-√7/2
　　cos2α=cos²α-sin²α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)=1/2*(-√7/2)=-√7/4

Answer 2

sinα+cosα=1/2
1+sin(2α)=1+2sinαcosα=(sinα+cosα)^2=1/4
sin(2α)=-3/4
cos(2α)=-(√7)/4 或 ：(√7)/4
(cosα-sinα)(sinα+cosα)=-(√7)/4 或 (√7)/4
cosα-sinα=-(√7)/2 或 (√7)/2
0<α<π
sinα>0, cosα<1
所以 cosα-sinα不可能比1大
所以 cosα-sinα=-(√7)/2
所以 cos(2α)=-(√7)/4

Answer 3

sinα+cosα=1/2，两边平方有sinα^2+cosα^2+2sinαcosα=1/4，即1+sin2α=1/4,sin2α=-3/4；
又0<α<π，联合sin2α=-3/4，sinα+cosα=1/2>0,知π/2<α<3π/4；
因此cos2α<0,且有cos2α^2=1-sin2α^2=1-9/16=7/16
所以cos2α= -(√7)/4

Answer 4

sinα+cosα=1/2
1+sin(2α)=(sinα+cosα)^2=1/4
sin(2α)=-3/4
(cos2α)^2=1-sin^2(2α)=7/16
cos(2α)=-(√7)/4 或 ：(√7)/4
cosα-sinα=-(√7)/2 或 (√7)/2
0<α<π
sinα>0, cosα<1
所以 cosα-sinα不可能比1大
所以 cosα-sinα=-(√7)/2
所以 cos(2α)=-(√7)/4

Answer 5

（sinα+cosα）^2=1/4.sin2α=-3/4,结合0<α<π讨论，可得答案