Question

已知函数f(x)=(1/3)的ax²-4x+3次方 （1）若a=-1，求f(x)的单调区间，（2）若f(x)有最大值3，求a的值

(3)若f(x)的值域是(0,正无穷大)，求a的取值范围。

Answer 1

f(x)=(1/3)^(ax²-4x+3)，f‘(x)=[(1/3)^(ax²-4x+3)]*ln(1/3)*(2ax-4)
令导函数等于0，则ax=2
(1/3)^(ax²-4x+3)>0，ln(1/3)<0，
（1）极值点x=-2,故得单调递增区间（-#，-2），单调递减区间[-2,+#)
（2）只有一个驻点，将ax=2带入f(x)=3,求出a=1
（3）f(x)是指函数，若g(x)=ax²-4x+3的值域是实数集，则f(x)的值域是（0，+#）
已知二次函数的图像是抛物线，值域不可能是实数集，要想g(x)的值域是实数集，则为一次函数，故a=0.

Answer 2

f(x)=(1/3)^(ax²-4x+3)，f‘(x)=[(1/3)^(ax²-4x+3)]*ln(1/3)*(2ax-4)，（1）若a=-1, f‘(x)=[(1/3)^(-x²-4x+3)]*ln(1/3)*(-2x-4)＞0，x＜-2时单调递增，x＞-2单调递减；（2）若f(x)有最大值3，ax²-4x+3≥-1，ax²-4x+4≥0，只有当a＞0时，函数ax²-4x+4有最小值，Δ=16-16a≤0，a≥1，取a=1；(3)若f(x)的值域是(0,正无穷大)，当a＞0时函数ax²-4x+3有最小值，当a＜0时函数ax²-4x+3有最大值，当a=0时函数ax²-4x+3值域是(－∞,＋∞)，满足f(x)的值域是(0,正无穷大)的要求，则a=0.