Question

1^∞类型的极限怎么求？

比如：lim(x→∞)[1+(a/x)]^x

Answer 1

令y＝[1+(a/x)]^x
两边同时取自然对数，得：
㏑y＝㏑{[1+(a/x)]^x}
即㏑y＝x㏑[1+(a/x)]
lim(x→∞)x㏑[1+(a/x)]
＝lim(x→∞){㏑[1+(a/x)]}/（1/x）
根据洛必达法则：
lim(x→∞){㏑[1+(a/x)]}/（1/x）
＝lim(x→∞){(-a/x²)[x/（x+a）]}/(-1/x²)
＝lim(x→∞)ax²/[x（x+1）]
＝lim(x→∞)2ax/2x+a
＝2a/2
＝a
∴lim(x→∞)[1+(a/x)]^x=e^a
至于lim(x→∞)[1+(1/x)]^x=e的证明，把a换成1就行了

追问

对于你的求证我不置可否，如果你取的不是自然对数，而是取lg呢？那又怎么样？

追答

一样的，取ln是因为求导的时候还是要用到ln，你去lg，求导之后还是要用到ln，取ln只为方便

Answer 2

高等数学里面有两个比较常用的极限式， 其中一个是
lim(1+1/x)^x＝e
x→∞
你举的例子就可以用上面的极限式解决

追问

求证：lim(x→∞)[1+(1/x)]^x=e

Answer 3

利用重要极限
lim(1+1/x)^x=e(x→∞)
故所求=lim(x→∞)(+a/x)^[(x/a)×a]
而x→∞时x/a→∞
故原式=e^a

追问

求证：lim(x→∞)[1+(1/x)]^x=e