Question

已知圆C1：x²+y²-4x-2y-3=0，圆C2:x²+y²-2x+m=0，其中-5＜m＜1

① 若m=-1，判断圆C1与C2的位置关系，并求两圆公切线方程
②设圆C1与圆C2的公共弦所在直线为l，且圆C2的圆心到直线l的距离为根号2/2，求直线l的方程以及公共弦长

Answer 1

①当m=-1时，
圆C1的圆心C1（2，1），半径r1=2√2，
圆C2的圆心C2（1，0），半径r2=√2，
圆心距C1C2=√2=r1-r2，所以两圆内切；
因为两圆相切，所以两圆的公切线方程可由两圆方程相减得到：x+y+1=0
②两圆公共弦所在直线l的方程为：2x+2y+m+3=0，
圆C2的圆心C2（1，0）到直线l的距离=|2+m+3|/2√2=√2/2，
于是|m+5|=2，m=-3或-7，
所以直线l的方程为 x+y=0 或 x+y-2=0；
因为圆C2半径r2=√2，弦心距d=√2/2，
由勾股定理可得弦长的一半为√6/2，弦长为√6。