Question

如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线

如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F

Answer 1

（1）解：如图1，取AB的中点G，连接EG．               
△AGE与△ECF全等．　                       

（2）①若点E在线段BC上滑动时AE=EF总成立．
证明：如图2，在AB上截取AM=EC．
∵AB=BC，
∴BM=BE，
∴△MBE是等腰直角三角形，
∴∠AME=180°-45°=135°，
又∵CF平分正方形的外角，
∴∠ECF=135°，
∴∠AME=∠ECF．       
而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△AME≌△ECF．
∴AE=EF．       
②过点F作FH⊥x轴于H，
由①知，FH=BE=CH，
设BH=a，则FH=a-1，
∴点F的坐标为F（a，a-1）
∵点F恰好落在抛物线y=-x2+x+1上，
∴a-1=-a2+a+1，
∴a2=2，a=±
2
（负值不合题意，舍去），
∴a−1＝
2
−1．
∴点F的坐标为F(
2
，
2
−1)．

Answer 2