sin(α+β)sin(α-β)=？
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cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)
=cos（(α+β)+(α-β)）=cos2α=cos²α-sin²α 1式
cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)
=cos（(α+β)-(α-β)）=cos2β=cos²β-sin²β 2式
2式-1式得到
2sin(α+β)sin(α-β)=cos²β-sin²β-cos²α+sin²α=2sin²α-1+1-2sin²β
=2sin²α-2sin²β
所以，sin(α+β)sin(α-β)=sin²α-sin²β
=cos（(α+β)+(α-β)）=cos2α=cos²α-sin²α 1式
cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)
=cos（(α+β)-(α-β)）=cos2β=cos²β-sin²β 2式
2式-1式得到
2sin(α+β)sin(α-β)=cos²β-sin²β-cos²α+sin²α=2sin²α-1+1-2sin²β
=2sin²α-2sin²β
所以，sin(α+β)sin(α-β)=sin²α-sin²β
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sin(α+β)sin(α-β)=（sinαcosβ+sinβcosα）（sinαcosβ-sinβcosα）
= sin²α cos²β+ sinβcosαsinαcosβ - sinαcosβsinβcosα- sin²βcos²α
= sin²α cos²β- sin²βcos²α
= sin²α(1-sin²β)-sin²β(1-sin²α)
=sin²α-sin²β
= sin²α cos²β+ sinβcosαsinαcosβ - sinαcosβsinβcosα- sin²βcos²α
= sin²α cos²β- sin²βcos²α
= sin²α(1-sin²β)-sin²β(1-sin²α)
=sin²α-sin²β
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