Question

请教一个数学问题，解方程组：x^2+y^2+x+y=18 x^2+xy+y^2=19

Answer 1

x^2+y^2+x+y=18 (1)
x^2+xy+y^2=19 (2)
设：
u=x+y
v=xy
x^2+y^2+u=18 (3)
x^2+y^2+v=19 (4)
u^2-2v+u=18 (5)
u^2-2v+v=19 u^2-v=19 v=u^2-19 (6)
将（6）代入（5），得到：
u^2-u-20=0 (u-5)(u+4)=0
解出： u1=5 u2=-4
v1=6 v2=-3
从而解出：
x1=3 y1=2
x2=2 y2=3
此外还有一组解：
x1=√7-2 y1=-(√7 +2)
x2=-(√7 +2) y2=√7 -2
验证：x1=3,y1=2 (1)、（2）都正确！
x2=2,y2=3 (1)、（2）都正确！
x1=√7-2, y1=-(√7+2) (1)：(√7-2)^2+(√7+2)^2-4=22-4=18 （1）正确！
(2)：(√7-2)^2+(√7+2)^2-(√7-2)(√7+2)=22-3=19 (2)正确！
x2=-(√7 +2) ，y2=√7 -2 ，由于x,y的对称性，此组解答也正确。

Answer 2

x²+y²+x+y=18 .............1式
x²+xy+y²=19 ..............2式
2式*2 - 1式，得：
x²+2xy+y²-(x+y)=20
(x+y)²-(x+y)-20=0
(x+y-5)(x+y+4)=0
x+y=5，或x+y=-4

把x+y=5，即y=5-x代入1式得：
x²-5x+6=0
解得x1=2，x2=3
由此得y1=3，y2=2

把x+y=-4，即y=-4-x代入1式得：
x²+4x-3=0
解得：x3=-2+√7，x4=-2-√7
由此得：y3=-2-√7，y4=-2+√7

Answer 3

第二条式子x^2+y^2=19-xy
代入第一条得x+y-xy+19=18
即x+y-xy-1=0
然后x-1+y(1-x)=0
即x-1-y(x-1)=0
即(x-1)(1-y)=0
所以x=y=1

追问

这个我想到过，第三行应该是x+y-xy+1=0
后面就不对了，麻烦再想想~

追答

我感觉这题有点问题的
因为x+y-xy+1=0
取x=2
就是-y=-3
y=3
取x=3
-2y=-4
y=2
应该是有很多组解的...