Question

一道线性代数的题目第八大题的第二小问

Answer 1

如果m＞n，那么A的秩R(A)≤n，AA^T是m阶方阵，R(AA^T)=R(A)≤n＜m，所以|AA^T|=0。
如果n＞m，那么A的秩R(A)≤m，A^TA是n阶方阵，R(A^TA)=R(A)≤m＜n，所以|A^TA|=0。
所以总有|AA^T|×|A^TA|＝0。

追问

为什么矩阵与矩阵转置乘积的秩等于矩阵的秩？

追答

可以证明齐次线性方程组Ax=0与A^TAx=0同解，A^Tx=0与AA^Tx=0同解，所以R(AA^T)=R(A)=R(A^T)=R(AA^T)

追问

能证一下么⊙▽⊙因为书上这里只讲了方阵的情况。。

追答

若Ax=0，则A^TAx=0。
反之，若A^TAx=0，左乘以x^T，x^T(A^TAx)=(Ax)^T(Ax)=0，所以Ax=0。
所以Ax=0与A^TAx=0，则R(A)=R(A^TA)。

追问

谢谢！