Question

已知函数f(x)=x - aln(x), g(x)=-(1+a)/x(a∈R) (1) 若a=1,求函数f(x)的极值;

(2) 设函数h(x)=f(x)-g(x),求函数h(x)的单调区间
(3) 若在[1,e](e=2.718...)上存在一点x0，使得f(x0)<g(x0)成立，求a的取值范围。

Answer 1

1.a=1,f(x)=x-ln(x) （定义域：R+)```````导数这里定义域很重要哦(*^__^*)
导函数f`(x)=1-1/x
令f`(x)=0可得x=1
列极值表可得......
所以f(x)在（0,1] 递减，在[1,正无穷）上递增
所以f(x)有极小值f(1)=1,无极大值

2

h(x)=x+(1+a)/x-aln(x) （定义域：R+）
导函数h`(x)=1-(1+a)/x^2-a/x
令h`(x)=0可得x^2-ax-(1+a)=0
（1）a=0,单调递增：(0,1] 单调递减：[1,正无穷）
（2）

追问

没有做完呀？

追答

上面分类讨论分错了
首先，这个方程的两个根是a+1和-1
所以(1) a=-2, R+上递增
(2) a-1是单调递增， a+1~-1 上单调递减
（3）a>-2 a+1是单调递增 -1~a+1 上单调递减

Answer 2

a=1,f(x)=x-ln(x) （定义域：R+)```````导数这里定义域很重要哦(*^__^*)
导函数f`(x)=1-1/x
令f`(x)=0可得x=1
列极值表可得......
所以f(x)在（0,1] 递减，在[1,正无穷）上递增
所以f(x)有极小值f(1)=1,无极大值