Question

导数推理

y=sinx的导函数是y‘=cosx，可我不知道过程，有谁能推理一下，并加以详细说明，万分感谢！

Answer 1

要有基本的 "重要极限公式" 和"等价无穷小的替换" 的知识

详细过程请见下图

Answer 2

这是公式 不需要证明 去看数学书

Answer 3

这个是当做基本公式用的。如果你是高中生或者只求不挂科的大学生就不用掌握推导。如果你是准备考研的大学生你就看高等数学上册，上面有

Answer 4

设y =sinx
⊿y =sin(x+⊿x)-sinx
= 2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)

⊿y/⊿x
= 2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x
= cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)
所以
y'
= lim(⊿x→0)⊿y/⊿x...(此处括号部分应写在下角标处，以下同)
= lim(⊿x→0) cos(x+⊿x/2)•lim(⊿x→0) sin(⊿x/2)/(⊿x/2)
= cosx
所以，<sinX>' =cosx

追问

为什么sin(x+⊿x)-sinx
= 2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)

能解释下吗？谢谢！

追答

这是一个和差积化公式
证明
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β， 　　sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β， 　　将以上两式的左右两边分别相加，得 　　sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β， 　　设 α+β=θ，α-β=φ 　　那么 　　α=(θ+φ)/2, β=(θ-φ)/2 　　把α，β的值代入，即得 　　sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]