Question

设函数f(x)定义在(0,正无穷）,f(1)=0,导函数f‘(x)=1/x,g(x)=f(x)+f’(x)（1）求g（x）的单调区间和最小值

（2）讨论g（x）与g（1/x）的大小.（3）是否存在x0＞0，使得|g（x）-g(x)|<1/x对任意x＞0成立，若存在求x0的取值

Answer 1

设函数f(x)定义在(0,正无穷）,f(1)=0,导函数f‘(x)=1/x,g(x)=f(x)+f’(x)（1）求g（x）的单调区间和最小值；（2）讨论g（x）与g（1/x）的大小.（3）是否存在x0＞0，使得|g（x）-g(x)|<1/x对任意x＞0成立，若存在求x0的取值
解：(1).g(x)=f(x)+1/x，g′(x)=f′(x)-1/x²=1/x-1/x²=(x-1)/x²
当0<x<1时，g ′(x)<0，故在区间（0，1)内g(x)单调减；当x>1时，g′(x)>0，故在区间(1，+∞）内
g(x)单调增。
(2) f(x)=∫(1/x)dx=lnx+C，当x=1时f(1)=0，故有C=0，于是得f(x)=lnx；g(x)=lnx+1/x.
f(x)-g(x)=lnx-(lnx+1/x)=-1/x<0(因为x>0)，故在（0，+ ∞）内恒有f(x)<g(x).
(3)|g（x）-g(x)|<1/x，这不是要1/x>0吗？因为x∈(0，+∞)，故恒有1/x>0.
第三问是不是写错了？