Question

已知函数f（x）=eλx+（1-λ）a-λex，其中α，λ，是常数，且0＜λ＜1．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ

已知函数f（x）=eλx+（1-λ）a-λex，其中α，λ，是常数，且0＜λ＜1．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）对任意给定的正实数a，是否存在正数x，使不等式|ex-1x-1|＜a成立？若存在，求出x，若不存在，说明理由；（Ⅲ）设λ1，λ2∈（0，+∞），且λ1+λ2=1，证明：对任意正数a1，a2都有：a1λ1a2λ2≤λ1a1+λ2a2．

Answer 1

不妨设函数g（x）=e^x，
（Ⅰ）∵f′（x）=λg′[λx+（1-λ）a]-λg′（x），
由f′（x）＞0得，g′[λx+（1-λ）a]＞g′（x），
∴λx+（1-λ）a＞x，即（1-λ）（x-a）＜0，解得x＜a，
故当x＜a时，f′（x）＞0；当x＞a时，f′（x）＜0；
∴当x=a时，f（x）取极大值f（a）=（1-λ）e^a，但f（x）没有极小值．     
（Ⅱ）∵|

ex-1

x

-1|=|

ex-x-1

x

|，
又当x＞0时，令h（x）=e^x-x-1，则h′（x）=e^x-1＞0，故h（x）＞h（0）=0，
因此原不等式化为

ex-x-1

x

＜a，即e^x-（1+a）x-1＜0，
令g（x）=e^x-（1+a）x-1，则g′（x）=e^x-（1+a），
由g′（x）=0得：e^x=1+a，解得x=ln（1+a），
当0＜x＜ln（1+a）时，g′（x）＜0；当x＞ln（1+a）时，g′（x）＞0，
故当x=ln（1+a）时，g（x）取最小值g[ln（1+a）]=a-（1+a）ln（1+a），
令s（a）=

a

1+a

-ln（1+a），a＞0，则s′（a）=

1

(1+a)2

-

1

1+a

=-

a

(1+a)2

＜0，
故s（a）＜s（0）=0，即g[ln（1+a）]=a-（1+a）ln（1+a）＜0，
因此，存在正数x=ln（1+a），使原不等式成立；
（Ⅲ）对任意正数a₁，a₂，存在实数x₁，x₂使a1=ex1，a2=ex2，
则a1λ1a2λ2=eλ1x1?eλ2x2=eλ1x1+λ2x2，λ₁a₁+λ₂a₂=λ1ex1+λ2ex2，
原不等式a1λ1a2λ2≤λ₁a₁+λ₂a₂?eλ1x1+λ2x2