Question

已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c经过原点（0，0）和A（1，-3）、B（-1，5）三点．（1）求抛物线的解析式．

已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c经过原点（0，0）和A（1，-3）、B（-1，5）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C．以OC为直径作⊙M，如果过抛物线上一点P作⊙M的切线PD，切点为D，且y轴的正半轴交于点为E，连接MD．已知点E的坐标为（0，m），求四边形EOMD的面积．（用含m的代数式表示）（3）延长DM交⊙M于点N，连接ON、OD，当点P在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得S四边形EOMD=S△DON？请求出此时点P的坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx+c过O（0，0）、A（1，-3）、B（-1，5）三点，
∴

c＝0 a+b+c＝?3 a?b+c＝5

，
解得

a＝1 b＝?4 c＝0

，
∴抛物线的解析式为y=x²-4x；

（2）抛物线y=x²-4x与轴的另一个交点坐标为C（4，0），
连接EM．
∴⊙M的半径是2，即OM=DM=2．
∵ED、EO都是⊙M的切线，
∴EO=ED．
∴△EOM≌△EDM．
∴S_{四边形EOMD}=2S_△OME=2×

1

2

OM?OE=2m；

（3）设点D的坐标为（x₀，y₀），
∵S_△DON=2S_△DOM=2×

1

2

OM×y₀=2y₀，
当S_{四边形EOMD}=S_△DON时，即2m=2y₀，m=y₀；
∵m=y₀，ED∥x轴，
又∵ED为切线，
∴D点的坐标为（2，2）；
∵P在直线ED上，故设P点的坐标为（x，2），
∵P在抛物线上，
∴2=x²-4x，
解得x=2±

6

；
∴P（2+

6

，2）或P（2-

6

，2）为所求．