Question

已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d在（-∞，0]上是增函数，在[0，1]上是减函数，其中b、c、d都是实数．（I）求c

已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d在（-∞，0]上是增函数，在[0，1]上是减函数，其中b、c、d都是实数．（I）求c的值；（II）求b的取值范围；（III）当b≠-3时，令g（x）=f(x)?f(1)x?1，x≠13+2b，x＝1，若g（x）的最小值为h（b），求h（b）的最大值．

Answer 1

（I）据题意，f′（x）=3x²+2bx+c≥0在（-∞，0]上恒成立，
且f′（x）=3x²+2bx+c≤0在[0，1]上恒成立，
所以0是f（x）的极大值点，
所以f′（0）=0，
所以c=0
（II），由（I）知，f′（x）=3x²+2bx=x（3x+2b），
当b＞0时，由f′（x）＜0解得?

2b

3

＜x＜0，
所以函数的递减区间为(?

2b

3

，0)与在[0，1]上是减函数矛盾，不合题意．
当b＜0时，由f′（x）＜0解得0＜x＜?

2b

3

，
所以函数的递减区间为(0，?

2b

3

)，
因为函数在[0，1]上是减函数，
所以f′（x）≤0在[0，1]上恒成立，
所以?

2b

3

≥1解得b≤?

3

2

（III）g(x)＝

x2+(1+b)x+1+b    (x≠1) 3+2b                    (x＝1)

当x≠1时，b≠-3时，g(x)min＝

?b2+2b+3

4

，
因为

?b2+2b+3

4

?(3+2b)＝?

1

4

(b+3)2≤0，
所以x∈R时，h（b）=g(x)min＝

?b2+2b+3

4

，
又b≤?

3

2

，b≠-3时，h（b）是关于b的增函数，
所以h(b)max＝h(?

3

2

)＝?

9

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