Question

如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC于点D且交⊙O于点F，连接BC，CF

如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC于点D且交⊙O于点F，连接BC，CF，AC．（1）求证：BC=CF；（2）若AD=3，DE=4，求BE的长；（3）若FD=1，tanE=255，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：如图1，连接OC，
∵ED切⊙O于点C，
∴CO⊥ED，
∵AD⊥EC，
∴CO∥AD，
∴∠OCA=∠CAD，
∵∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠CAD，
∴

BC

＝

CF

，
∴BC=CF；
（2）解：在Rt△ADE中，
∵AD=3，DE=4，
根据勾股定理得AE=5，
∵CO∥AD，
∴△EOC∽△EAD，
∴

EO

EA

＝

OC

AD

，
设⊙O的半径为r，
∴OE=5-r，
∴

r

3

＝

5?r

5

，
解得：r=

15

8

，
∴EB=5-2r=

5

4

；
（3）过O作OG⊥AF于点G，则G是AF的中点，且OG∥ED，
∴∠AOG=∠E，
∵tanE=

2 5

5

，
∴tan∠AOG=

2 5

5

，
设AG=2k，则OG=

5

k，OA=3k，
在矩形OGDC中，GD=0C=3k，∴AD=5k，又AF=2AG=4k，
∴DF=k，
又∵DF=1，
∴k=1，
∴求⊙O的半径是3．