Question

设f（x）在[1，+∞）内可导，则（　　）A．若limx→+∞f′（x）=0，则f（x）在[1，+∞）上有界B．若limx

设f（x）在[1，+∞）内可导，则（　　）A．若limx→+∞f′（x）=0，则f（x）在[1，+∞）上有界B．若limx→+∞f′（x）=0不成立，则f（x）在[1，+∞）上无界C．若limx→+∞f′（x）=1，则f（x）在[1，+∞）上有界D．若limx→+∞f′（x）=1，则f（x）在[1，+∞）上无界

Answer 1

选项D正确：
若

lim

x→+∞

f′(x)＝1，则由极限的保号性可知，
?X＞1，使得当x＞X时，有f′(x)＞

1

2

．
从而，当x＞X时，由拉格朗日中值定理可得：
f（x）-f（X）=f′（ξ）（x-X），其中X＜ξ＜x，
故有：f(x)＞f(X)+

1

2

(x?X)，
令x→+∞可知f（x）→+∞，
故f（x）在[1，+∞）上无界．
由此可知，选项C是错误的，选项D是正确的．
选项A的反例：f（x）=lnx，

lim

x→+∞

f′(x)＝

lim

x→+∞

1

x

＝0，而f（x）在[1，+∞）上显然无界．
选项B的反例：

lim

x→+∞

f′(x)＝0不成立也有可能是

lim

x→+∞

f′(x)不存在，例如令f（x）=sinx．
故选：D．