Question

如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标为（6，0），（6，8）．动点M、N分别从O、B同时

如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标为（6，0），（6，8）．动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了x秒．（1）用含x的代数式表示P的坐标（直接写出答案）；（2）设y=S四边形OMPC，求y的最小值，并求此时x的值；（3）是否存在x的值，使以P、A、M为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵四边形OABC为矩形，点A、B的坐标为（6，0），（6，8），
∴C点坐标为（0，8），
设AC的解析式为y=kx+b，
将A（6，0），C（0，8）代入y=kx+b得，

6k+b＝0 b＝8

，
解得

k＝? 4 3 b＝8

，
则函数解析式为y=-

4

3

x+8，
∵CN=6-x，
∴y_P=-

4

3

（6-x）+8=

4

3

x，
则P点坐标为（6-x，

4

3

x）．

（2）∵AM=AO-OM=6-x，
∴S_△AMP=

1

2

×（6-x）×

4

3

t=-

2

3

x²+4x，
∴y=S_{四边形OMPC}
=S_△AOC-S_△AMP
=

1

2

×6×8-（-

2

3

x²+4x）
=

2

3

x²-4x+24
=

2

3

（x-3）²+18，
当x=3时，y的最小值为18．

（3）存在．
在△ACB中，PN∥AB，
则

BN

BC

=

AP

AC

，
即

x

6

=

AP

10

，
解得AP=

5

3

x，
又∵AM=6-x，
则有：①△AMP∽△AOC时，

AM

AO

=

AP

AC

，即

6?x

6

=

5 3 x

10

，解得x=3秒；
②△APM∽△AOC时，

AP

AO

＝

AM

AC

，即

5 3 x

6

=

6?x

10

，解得x=

27

17

秒．
综上所述，当x=3秒或x=

27

17

秒时以P、A、M为顶点的三角形与△AOC相似．