Question

设实数a，b，c满足a2+b2+c2=1．（1）若a+b+c=0，求ab+bc+ca的值；（2）求（a+b+c）2的最大值

设实数a，b，c满足a2+b2+c2=1．（1）若a+b+c=0，求ab+bc+ca的值；（2）求（a+b+c）2的最大值．

Answer 1

（1）∵a+b+c=0，
∴（a+b+c）²=0，
∴a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=0，
而a²+b²+c²=1，
∴ab+bc+ca=-

1

2

；
（2）∵（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc，
而（a-b）²≥0，即2ab≤a²+b²，
同理有2bc≤b²+c²，2ac≤a²+c²，
∴（a+b+c）²≤a²+b²+c²+a²+b²+b²+c²+a²+c²，
∴（a+b+c）²≤3（a²+b²+c²），
而a²+b²+c²=1，
∴（a+b+c）²≤3，
∴（a+b+c）²的最大值为3．