Question

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3≤6，S4≥8，S5≤20，当a4取得最大值时，数列{an}的公差为_____

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3≤6，S4≥8，S5≤20，当a4取得最大值时，数列{an}的公差为______．

Answer 1

设公差为d，则
S₃=a₁+a₂+a₃=3a₄-6d≤6，a₄≤2d+2
S₄=S₃+a₄=4a₄-6d≥8，a4≥

3

2

d+2
有

3

2

d+2≤a₄≤2d+2?d≥0．
S₅=S₄+a₄+d=5a₄-5d≤20
a₄≤d+4，有

3

2

d+2≤a₄≤d+4?d≤4
∴0≤d≤4．
a₄≤min{2d+2，d+4}
0≤d≤2时，2d+2≤d+4，此时a₄≤2d+2≤2×2+2=6 
2≤d≤4时，d+4≤2d+2，此时a₄≤d+4≤4+4=8   
a₄的最大值为8，此时公差d=4．
a₄=8，d=4．
a₁=-4，a₂=0，a₃=4，a₄=8，a₅=12
此时S₃=0，S₄=8，S₅=20，满足条件．
故答案是4．