Question

已知函数f（x）=x2-（2a-1）x-3（Ⅰ）当a=2时，若∈[-2，3]，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若函数f（x）在[

已知函数f（x）=x2-（2a-1）x-3（Ⅰ）当a=2时，若∈[-2，3]，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若函数f（x）在[-2，3]上的最小值为g（a）．①求函数g（a）的表达式；②是否存在实数a，使得g（a）=1，若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）当a=2时，函数f（x）=x²-3x-3=(x?

3

2

)2-

21

4

，若x∈[-2，3]，
则函数f（x）的最小值为f（

3

2

）=-

21

4

；最大值为f（-2）=7，故函数的值域为[-

21

4

，7]．
（Ⅱ）∵f（x）=x²-（2a-1）x-3=(x?

2a?1

2

)2-

4a2?4a+13

4

，x∈[-2，3]，
（1）当

2a?1

2

≤?2，即a≤-

3

2

时，函数f（x）的最小值为f（-2）=4a-1；
（2）当-2＜

2a?1

2

≤3，即-

3

2

＜a≤

7

2

时，函数f（x）的最小值为f（

2a?1

2

）=-

4a2?4a+13

4

；
（3）当

2a?1

2

＞3，即a＞

7

2

时，函数f（x）的最小值为f（3）=9-6a；
综上可得，①g（a）=

4a?1，a≤? 3 2 ? 4a2?4a+13 4 ，? 3 2 ＜a≤ 7 2 9?9a，a＞ 7 2

．
②当a≤-

3

2

时，由4a-1=1，得a＝

1

2

，∴此时a∈?；
当-

3

2

＜a≤

7

2

时，由-

4a2?4a+13

4

=1，得4a²-4a+17=0，∵△＜0得a∈?，∴此时a∈?；
当a＞

7

2

时，由9-6a=1，得a=

4

3

，∴此时，a∈?；
综上，不存在实数a，使得g（a）=1成立．