Question

已知地球半径为R，引力常量为G，地球表面的重力加速度为g．不考虑地球自转的影响．（1）推导第一宇宙速度

已知地球半径为R，引力常量为G，地球表面的重力加速度为g．不考虑地球自转的影响．（1）推导第一宇宙速度v的表达式；（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，飞行n圈，所用时间为t．，求地球的平均密度．

Answer 1

（1）卫星绕地球表面附近做匀速圆周运动时受到的万有引力近似等于重力，设飞船的质量为m，地球的质量为M，则有：
  mg=m

v2

R

解得：v=

gR

（2）设卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，由题意得：T=

t

n

由万有引力定律和向心力得：
  G

Mm

(R+h)2

=m（R+h）

4π2

T2

　 
解得地球的质量：M=

4n2π2(R+h)3

Gt2

又地球的体积为 V=

4

3

πR³　   
所以地球的平均密度为 ρ=

M

V

=

3πn2(R+h)3

Gt2R3

．
答：（1）第一宇宙速度v的表达式为v=

gR

；（2）地球的平均密度为

3πn2(R+h)3

Gt2R3

．