Question

幂级数求和问题，求其详细运算过程。

Answer 1

　　视问题而定,并不是所有的幂级数都能求出和的!
一般的幂级数求和都是对幂级数积分或求导或乘除x,得到一个可以求和的级数,求出和函数后再还原出原幂级数的和函数!
　　
有些幂级数要用到泰勒级数或傅立叶级数的某些结论,甚至有些要用到复变函数的结论,虽然如此,仍然有很多幂级数的和函数是求不出来的!
　　例如：
　　1 ）f(x)= ∑（-1）^(n-1) x^(2n-1)/(2n-1)
f'(x)=∑（-1）^(n-1) x^(2n-2)=1/(1+x^2)
f(0)=0
积分得 f(x)=f（0）+ ∫【0到x】dt/(1+t^2) =arctanx
2)f(x)= ∑n(n+1)x^(n-1)
积分两次得 ∑x^(n+1)=x^2/(1-x)=
再求导两次即可得f(x)=2/(1-x)^3
原式=2x/(1-x)^3
3)求导得 ∑(x+1)^(n-1)/2^n=(1/2)∑[(x+1)/2]^(n-1)=(1/2)/[1-(x+1)/2]=1/(1-x)
f=-ln(1-x)+C
f(-1)=0 C=ln2
f=ln2-ln(1-x)

Answer 2

新年好！Happy Chinese New Year ！

1、解题思路，没有错，只是讲义编写者喜欢故弄玄虚。
并不是编者在这里有什么特别独到的思路，完全不是。
这是一种人人一学就会的“构造函数”，根据具体求和
通式，是对每个学生的基本要求。
2、楼主划线的部分，只是换汤不换药，依然是原来的求和
级数，只是按照展开后的具体规律，改写了求和的起始
下标。楼主不妨将四个求和式，展开前几项，一看就会
明白。以后的级数证明中，归纳法的运用中，经常用这
样做。