Question

已知函数f(x)(x不等于0），对于任意非零实数x，y，满足f（xy）=f（x）+f（y）。

若y=f（x）在（0，正无穷）上是增函数，且满足f（x）+f（1-1/x）小于等于0，求x的取值范围。

Answer 1

这题梯度好像有点大啊，不容易想呢

令X=1，则f（y）=f（1）+f（y），所以f（1）=0；
令x=y=-1，则f（1）=f（-1）+f（-1），f（-1）=0
令y=x，则f（x^2）=f（x）+f（x），即f（x）=1/2f（x^2），
又同理得到f（-x）=1/2f（x^2），所以f（x）=f（-x），故函数f（x）为偶函数.
∵f(x)+f(1-1/x)=f(x-1)≤0.且y=f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,f(-1)=0,f(x)为偶函数,
∴必须满足-1≤x-1≤1且x-1≠0、x≠0
∴x∈（0,1）∪（1,2]

追问

为什么 f(x)+f(1-1/x)=f(x-1) 还有 最后一点的过程能在详细些么？谢谢。

追答

令y=1-1/x，就可以得到这个式子了，因为x（1-1/x）=x-1
最后的过程是这样的，
∵y=f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(x)为偶函数
∴f（x）在（-∞，0）上为减函数
∵f（1）=0，f（-1）=0
∴只有-1≤x-1≤1的时候，才有f（x-1）≤0
又f（x）、f（x-1）均有意义
∴x≠0,x-1≠0

Answer 2

没代笔 不然都给你算算了