Question

求定积分 ∫（1,e) [lnx/x^3]dx 求过程谢谢诶

Answer 1

先求不定积分部分：
∫ lnxdx/(x^3)
=-1/2∫ lnxd[x^(-2)]
=-lnx*x^(-2)/2+1/2∫ x^(-2)d(lnx) 此步骤为分步积分法。
=-lnx*x^(-2)/2+1/2∫ x^(-3)dx
=-lnx*x^(-2)/2-x^(-2)/4
再代入数值，可求出定积分，则有：
∫（1,e) [lnx/x^3]dx=[1+3e^(-2)]/4.

Answer 2

先求出被积函数的不定积分。
∫lnx/x³dx=-1/3∫lnxd(1/x²)
应用分部积分法可得
∫lnxd(1/x²)=lnx/x²-∫1/x²d(lnx)
=lnx/x²-∫1/x³dx
=lnx/x²+1/(2x²)+c
故所求定积分为
=-1/3(3/(2e²)-1/2)
=1/6-1/(2e²)