Question

已知椭圆C的离心率根号2/2 且椭圆C的左焦点F1与抛物线y^2=-4x的焦点重合。2.若点f1

-1,0),f2(1,0)到一斜率存在的动直线l的距离之积为1,试问直线l是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由。

Answer 1

郭敦顒回答：
（1）椭圆C的离心率e= c/ a=（1/2）√2
抛物线y²=－4x=2px，的焦点（p/2，0）（p＜0），p=－2，p/2=－1
椭圆C的左焦点为F1（－1，0），c=1，a=1/[（1/2）√2] =√2，
∴a²=2，b²= a²－c²=1
椭圆C的方程是x²/2+y²=1。
（2）焦点F1（－1，0），F2（1，0）到一有斜率的直线l距离之积
F1P1•F2P2=1，F1P1⊥直线l，F2P2⊥直线l，
由x²/2+y²=1，y=√（1－x²/2）
直线l的斜率k=y′=（1/2√（1－x²/2）
若直线l切于上（或下）顶点，则F1P1=F2P2=1，F1P1•F2P2=1，
直线l∥X轴，y=1，没有斜率，不符合条件，
若直线l切于右（或左）顶点，则F1P1=3，F2P2=1，P1，P2重合于右顶点，
F1P1•F2P2=3，不符合条件，
显然，直线l与椭圆C的切点若不在4个顶点上，则F1P1•F2P2的取值范围是（1，3），从而直线l与椭圆C没有唯一的公共点。