Question

求解，需要详细的解题的过程！谢谢

1已知1/cosα-1/sinα=1,则sin2α的值为（）
2已知tanθ=1/3，则cos^2θ+1/2sin2θ为（）
3已知3cos（2α+β）+5cosβ=0，则tan（α+β）* tanα的值为（）
4已知sinα+cosα=1/3，则cos4α=（）
5函数y=2sinxcosx-2sin^2x+1的最小正周期为（）
6已知α+β=30°，且α,β满足关系式 √3*（tanα+tanβ+α）+2tanα+3tanβ=0，
则tanα=（）
7已知=√1-x/√1+x,若α∈（90°，180°），则f（cosα）+f（-cosα）可化简为（）

Answer 1

1、sin2α=2sinαcosα，所以这道题可以这样解
∵1/cosα-1/sinα=1
∴（sinα-cosα）/sinαcosα=1
∴sinα-cosα=sinαcosα
∴（sinα-cosα）^2=sin^2αcos^2α
∴1-2sinαcosα=sin^2αcos^2α
∴sinαcosα=-1±√2
∵sinα，cosα∈[-1,1]
∴sinαcosα∈[-1,1]
∴sinαcosα=-1+√2
∴sin2α=2sinαcosα=-2+2√2
这题的根本原理是sinα+cosα、sinα-cosα、sinαcosα之间的关系，常常需要把一个平方以求另外两个

2、cos^2θ+1/2sin2θ
=（cos^2θ+sinθcosθ）/1（分母1拉出来是为了后面化切埋伏笔）
=（cos^2θ+sinθcosθ）/（sin^2θ+cos^2θ）
=（1+tanθ）/（tan^2θ+1）（上下都除以一个cos^2θ）
=（1+1/3）/（1+1/9）
=6/5
给tanθ的值大多数时候就是告诉你这题可以弦化切了

3、∵3cos(2α+β)+5cosβ=0
∴3cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-α]=0
∴[3cos(α+β)cosα-3sin(α+β)sinα]+[5cos(α+β)cosα+5sin(α+β)sinα]=0,
∴8cos(α+β)cosα+2sin(α+β)sinα=0,
∴tan(α+β)tanα=[sin(α+β)sinα]/[cos(α+β)cosα]=-4
这道题的思路和上道相反，是切化弦

4、∵sinα+cosα=1/3
∴（sinα+cosα）^2=1/9
∴2sinαcosα=sin2α=-8/9
cos4α=1-2（sin2α）^2=-47/81
和第一题原理相同

5、y=2sinxcosx（-2sin^2x+1）
=sin2x＋cos2x（看到和二倍角公式一样的式子就应该化过去了）
=√2（sin2x×√2/2+cos2x×√2/2）
=√2（sin2xcosπ/4+cos2xsinπ/4）
=√2sin(2x＋π/4)
∴最小正周期为T=2π/2=π。
一般的对asinx+bcosx（a、b可以为正也可以为负，这个x可以换成2x或者别的什么），有asinx+bcosx=√（a^2+b^2）sin（π+θ），其中sinθ=b/√（a^2+b^2）。证明过程和上面的过程没什么实际差别，都是利用公式。

6、∵tan（π/6）=tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=√3/3
∴3(tanα+tanβ)=√3-√3tanαtanβ
∴√3（tanαtanβ+α）+2tanα+3tanβ
=√3tanαtanβ+√3α+3tanα+3tanβ-tanα
=√3tanαtanβ+√3α+√3-√3tanαtanβ-tanα
=√3α+√3-tanα=0
∴tanα=√3α+√3
总觉得有点怪怪的，正常状况下不会冒出一个α来……

7、∵f(-x)=√(1+x)/(1-x)=1/f(x),
∴f(x)+f(-x)=(1+f^2(x))/f(x),
∴f(cosα)+f(-cosα)=(1+f^2(cosα))/f(cosα),
∵f(cosα)=√(1-cosα)/(1+cosα)=√sin^2α/(1+cosα)^2=sinα/(1+cosα)(注：因为α∈（90°，180°），所以sinα>0,1+cosα>0，所以开根号不要加负号)，
∴f(cosα)+f(-cosα)
=[1+(sin^2α/(1+cosα)^2)]/[sinα/(1+cosα)]
=sinα/(1+cosα)+(1+cosα)/sinα
=2(1+cosα)/[sinα(1+cosα)]
=2/sinα
这题算起来比较繁杂，但要点还是从原函数入手，弄清楚f（x）+f（-x）是什么

Answer 2

1、1/cosα-1/sinα=1，sinα-cosα=sinαcosα
(sinα-cosα)^2=(sinαcosα)^2
1-2sinαcosα=(sinαcosα)^2
(sinαcosα)= -1+√2
sin2α=2sinαcosα= -2+2√2

2、cos^2θ+1/2sin2θ=(cos^2θ+sinθcosθ)/1
=(cos^2θ+sinθcosθ)/(sin^2θ+cos^2θ)
=(1+tanθ)/(tan^2θ+1)
=3/2

3、算起来很烦，再帮看看题目有没抄错

4、sinα+cosα=1/3，
(sinα+cosα)^2-1=2sinαcosα=sin2α=-8/9
cos4α=1-2(sin2α)^2=-47/81

5、y=2sinxcosx-2sin^2x+1=sin2x-cos2x
=√2sin(2x+π/4)
最小正周期为π

6、 √3*（tanα+tanβ+α）+2tanα+3tanβ
= √3*（tanα+tan30）+2tanα+3tan(30-α)=0
同第三题

7、f(x)=√1-x/√1+x
因为f(-x)=-f(x)
所以f(x)为奇函数
即f(x)+f(-x)=0
f（cosα）+f（-cosα）=0