Question

这道线性代数题怎么证明

Answer 1

证明思路：
设a1,a2,....,ar的秩是k，其中k<=r
这样a1,a2,....,ar中存在k个向量线性无关
不妨就设a1,a2,....,ak是线性无关的，否则可以交换其顺序
这样a1,a2,....,ar中的任何一个向量都可以由a1,a2,....,ak线性表出，否则与a1,a2,....,ak是线性无关且a1,a2,....,ar的秩为k矛盾
假设a(r+1)不能被a1,a2,....,ar线性表出，那么也就不能被a1,a2,....,ak线性表出，这意味着a(r+1)与向量组a1,a2,....,ak是线性无关的
这就与a1,a2,....,a(r+1)的秩是k矛盾
证毕

Answer 2

这类题目用向量组的极大无关组最好说明

证明: 设 ai1,...,aik 是向量组 a1,...,ar 的一个极大无关组.
由已知 r(a1,...,ar,ar+1) = r(a1,...,ar) = k
所以 ai1,...,aik 也是向量组 a1,...,ar,ar+1 的一个极大无关组
所以 ar+1 可由 ai1,...,aik 线性表示. [极大无关组可表示任一向量]
所以 ar+1 可由 a1,...,ar 线性表示. [ai1,...,aik 是向量组 a1,...,ar 的一个部分组]

Answer 3

不好意思，我现在还没学到，我尽快学完来回答，一定！

Answer 4

sorry 昨晚头昏 写错了 。。。。