Question

如图，已知∠MON=30°，点A 1 、A 2 、A 3 …在射线ON上，点B 1 、B 2 、B 3 …在射线OM上，△A 1 B 1 A

如图，已知∠MON=30°，点A 1 、A 2 、A 3 …在射线ON上，点B 1 、B 2 、B 3 …在射线OM上，△A 1 B 1 A 2 、△A 2 B 2 A 3 、△A 3 B 3 A 4 …均为等边三角形，若OA 1 =1，则△A 5 B 5 A 6 的边长为______，△A 2012 B 2012 A 2013 的边长为______．

Answer 1

∵△A 1 B 1 A 2 是等边三角形，
∴A 1 B 1 =A 2 B 1 ，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA 1 =A 1 B 1 =1，
∴A 2 B 1 =1，
∵△A 2 B 2 A 3 、△A 3 B 3 A 4 是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A 1 B 1 ∥ A 2 B 2 ∥ A 3 B 3 ，B 1 A 2 ∥ B 2 A 3 ，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A 2 B 2 =2B 1 A 2 ，B 3 A 3 =2B 2 A 3 ，
∴A 3 B 3 =4B 1 A 2 =4，
A 4 B 4 =8B 1 A 2 =8，
A 5 B 5 =16B 1 A 2 =16，
…
∴△A n B n A n+1 的边长为 2 n-1 ．
∴，△A 2012 B 2012 A 2013 的边长为2 2012-1 =2 2011 ．
故答案为：16，2 2011 ．