Question

如下几个图形是五角星和它的变形． （1）图（1）中是一个五角星形状，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E

如下几个图形是五角星和它的变形． （1）图（1）中是一个五角星形状，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= _________ ；（2）图（1）中的点A向下移到BE上时（如图（2））五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性；（3）把图（2）中的点C向上移动到BD上时（如图（3）），五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性．（4）如图，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的中线，延长CD到F，使FD=CD，延长BE到G，使EG=BE，那么AF与AG是否相等？F、A、G三点是否在一条直线上？说说你的理由．

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Answer 1

解：（1）连接C，D，得线段CD，并设BD和CE交于点O，如下图： ∵∠COD=∠BOE（对顶角相等）， ∴∠B+∠E=∠ECD+∠BDC（等量代换）， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠C+∠D+∠ECD+∠BDC=∠A+∠ACD+∠ADC=180° （2）连接C，D，得线段CD，并设BD和CE交于点O，如下图： ∵∠COD=∠BOE（对顶角相等）， ∴∠B+∠E=∠ECD+∠BDC（等量代换）， ∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠CAD+∠C+∠D+∠ECD+∠BDC=∠CAD+∠ACD+∠ADC=180°． 故∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E等于180°没有变化． （3）∵∠ECD是△BCE的一个外角， ∴∠ECD=∠B+∠E（三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和）， ∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=∠CAD+∠ACE+∠D+∠ECD=∠CAD+∠ACD+∠D=180°，故∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E等于180°，没有变化． （4）∵CD是AB边上的中线，FD=CD， ∴AD=BD，CD=FD，又∠ADF=∠BDC， ∴△ADF≌△BDC， ∴AF=BC，且AF∥BC．同理可得，AG=BC，且AG∥BC， ∴AF=AG，又AF，AG同时平行于BC，又都过A点， ∴F、A、G三点在一条直线上．