Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，DE⊥AB于E，∠ADC=45°，若DE∶BE=1∶5，BE=3，求△ABD的面

如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，DE⊥AB于E，∠ADC=45°，若DE∶BE=1∶5，BE=3，求△ABD的面积。

Answer 1

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分析：由已知条件可以证明△BED∽△BCA，然后根据其对应边成比例可将DE的长求出来，进而可求出AB的长，根据三角形的面积公式可求出结果． 解：在△AED中，∵DE⊥AB于E， 又∵DE：AE=1；5， ∴设DE=x，则AE=5x， 由勾股定理，AD 2 =AE 2 +ED 2 =（5x） 2 +x 2 =26x 2 ， ∴AD= x． 在△ADC中，∵∠C=90°，∠ADC=45°， ∴∠DAC=45°． 由勾股定理，AC 2 +DC 2 =AD 2 =26x 2 ， ∴AC=DC= x． 在Rt△BED中，∵ED=x，BE=3， 由勾股定BD 2 =ED 2 +BE 2 =x 2 +3 2 =x 2 +9， ∴BD= ． 在Rt△BED和Rt△BCA中， ∵∠B是公共角， ∠BED=∠BCA=90°， ∴△BED∽△BCA，而AB=3+5x． ∴ = ． 即 = ． 解关于x的方程3+5x= ? ， 两边平方得：（3+5x） 2 =13?（x 2 +9）， 化简得：2x 2 +5x-18=0， 即（x-1）（2x+9）=0， ∴x 1 ="2" x 2 =- ． ∵x=ED＞0， ∴x=ED=2，AE=5x=10． ∴AB=AE+BE=10+3=13． ∴S △ ABD = ED?AB= ×2×13=13．