数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列．（1）求数列{an}的
数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，且...
数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn＝lnnxan2，求证：对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828…）和任意正整数n，总有Tn＜2．
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（1）根据题意，对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列，则对于n∈N*，总有2Sn=an+an2①成立
∴2Sn?1＝an?1+an?1 2（n≥2）②
①-②得2an=an+an2-an-1-an-12，即an+an-1=（an+an-1）（an-an-1）；
∵an，an-1均为正数，
∴an-an-1=1（n≥2）
∴数列{an}是公差为1的等差数列，
又n=1时，2S1=a1+a12，解得a1=1
∴an=n．（n∈N*）
（2）证明：由（1）的结论，an=n；对任意实数x∈（1，e]，有0＜lnx＜1，
对于任意正整数n，总有bn＝
≤
．
∴Tn≤
+
+…+
＜1+
+
+…+
=1+1?
+
?
+…+
?
＝2?
＜2
对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828…）和任意正整数n，总有Tn＜2
∴2Sn?1＝an?1+an?1 2（n≥2）②
①-②得2an=an+an2-an-1-an-12，即an+an-1=（an+an-1）（an-an-1）；
∵an，an-1均为正数，
∴an-an-1=1（n≥2）
∴数列{an}是公差为1的等差数列，
又n=1时，2S1=a1+a12，解得a1=1
∴an=n．（n∈N*）
（2）证明：由（1）的结论，an=n；对任意实数x∈（1，e]，有0＜lnx＜1，
对于任意正整数n，总有bn＝
| lnnx |
| an2 |
| 1 |
| n2 |
∴Tn≤
| 1 |
| 12 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| n2 |
| 1 |
| 1?2 |
| 1 |
| 2?3 |
| 1 |
| (n?1)n |
=1+1?
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n?1 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828…）和任意正整数n，总有Tn＜2
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