Question

已知函数f（x）=ln（x+1），x∈（0，+∞），下列结论错误的是（　　）A．?x1，x2∈（0，+∞），（x2-x1）

已知函数f（x）=ln（x+1），x∈（0，+∞），下列结论错误的是（　　）A．?x1，x2∈（0，+∞），（x2-x1）[f（x2）-f（x1）]≥0B．?x1∈（0，+∞），?x2∈（0，+∞），x2f（x1）＞x1f（x2）C．?x1∈（0，+∞），?x2∈（0，+∞），f（x2）-f（x1）＜x2-x1D．?x1，x2∈（0，+∞），f(x1)+f(x2)2＞f(x1+x22)

Answer 1

因为函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数，所以（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]≥0，故A正确．
由于x2f(x1)＞x1f(x2)?

f(x1)

x1

＞

f(x2)

x2

，将k＝

f(x)

x

视为曲线y=f（x）上的点与原点连线斜率，
结合函数图象特征可知横坐标越大，斜率越小，?x₁∈（0，+∞），?x₂＞x₁满足条件，故B正确．
当x∈（0，+∞）时，y=f（x）-x=ln（x+1）-x为减函数，?x₁∈（0，+∞），?x₂＞x₁，
f（x₂）-x₂＜f（x₁）-x₁，故C正确．
由于曲线y=f（x）图象上连接任意两点线段中点在曲线下方，?x₁，x₂∈（0，+∞），

f(x1)+f(x2)

2

≤f(

x1+x2

2

)，故D错误．
故选D．