如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=AD=3,DE⊥DC交AB于E,DF平分∠EDC交BC于F,连接EF.(1)
如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=AD=3,DE⊥DC交AB于E,DF平分∠EDC交BC于F,连接EF.(1)证明:FD平分∠EFC;(2)当ta...
如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=AD=3,DE⊥DC交AB于E,DF平分∠EDC交BC于F,连接EF.(1)证明:FD平分∠EFC;(2)当tan∠ADE=13时,求BF的长度.
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(1)证明:过D作DG⊥BC于G.
由已知可得四边形ABGD为正方形,
∵DE⊥DC.
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG,
∴∠ADE=∠GDC.
又∵∠A=∠DGC且AD=GD,
∴△ADE≌△GDC,
∴DE=DC且AE=GC.
又∵DF平分∠EDC交BC于F,
∴△EDF≌△CDF,
∴∠EFD=∠CFD,即FD平分∠EFC;
(2)∵tan∠ADE=
=
,
∴AE=GC=2.∴BC=8,BE=4,
设CF=x,则BF=8-CF=8-x,
在Rt△BEF中,由勾股定理得:x2=(8-x)2+42,
解得x=5,∴BF=8-x=3
由已知可得四边形ABGD为正方形,
∵DE⊥DC.
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG,
∴∠ADE=∠GDC.
又∵∠A=∠DGC且AD=GD,
∴△ADE≌△GDC,
∴DE=DC且AE=GC.
又∵DF平分∠EDC交BC于F,
∴△EDF≌△CDF,
∴∠EFD=∠CFD,即FD平分∠EFC;
(2)∵tan∠ADE=
AE |
AD |
1 |
3 |
∴AE=GC=2.∴BC=8,BE=4,
设CF=x,则BF=8-CF=8-x,
在Rt△BEF中,由勾股定理得:x2=(8-x)2+42,
解得x=5,∴BF=8-x=3
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