Question

（2010?徐汇区二模）如图所示，两根竖直平行放置的光滑金属导轨相距为L，中间接有一阻值为R的定值电阻，

（2010?徐汇区二模）如图所示，两根竖直平行放置的光滑金属导轨相距为L，中间接有一阻值为R的定值电阻，在两导轨间abdc矩形区域内分布有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直导轨平面向里，宽度为d．一质量为m，电阻为r的导体棒MN垂直搁在导轨上，与磁场上边边界相距d0．现使棒MN由静止开始释放，当MN最终离开磁场前已开始做匀速直线运动，导轨电阻不计，棒下落过程中始终保持水平，并与导轨接触良好．（1）求MN在离开磁场下边界时的速度大小；（2）在通过磁场区域的过程中，求电流所做的功；（3）试分析讨论棒在磁场中各种可能出现的运动情况及其对应的条件．

Answer 1

（1）设MN棒离开磁场边界前做匀速运动的速度为v，产生的电动势为E=BLv    
电路中电流 I＝

E

R+r

对MN棒，由平衡条件得 mg-BIL=0                   
解得 v＝

mg(R+r)

B2L2

（2）从MN棒开始下滑到刚离开磁场的过程，由能量守恒定律得：
mg(d0+d)＝E电+

1

2

mv2                 
解得整个电路中产生的焦耳热为：E电＝mg(d0+d)?

m3g2(R+r)2

2B4L4

则棒MN在通过磁场区的过程中产生的焦耳热；E棒电＝

r

R+r

[mg(d0+d)?

m3g2(R+r)2

2B4L4

]
（3）设棒自由落体d₀高度历时为t₀，由d0＝

1

2

g

t

2 0

，
得t0＝

2d0 g

棒在磁场中匀速时速度为v＝

mg(R+r)

B2L2

设t＝

v

g

＝

m(R+r)

B2L2

当t₀=t，即d0＝

m2g(R+r)2

2B4L4

时，棒进入磁场后做匀速直线运动
当t₀＜t，即d0＜

m2g(R+r)2

2B4L4

时，棒进入磁场后做先加速后匀速直线运动
当t₀＞t，即d0＞

m2g(R+r)2

2B4L4

时，棒进入磁场后做先减速后匀速直线运动．
画出棒在下落高度d+d₀过程中速度随下落高度h变化所对应的各种可能的图线如图所示．
答：
（1）棒MN在离开磁场下边界时的速度为v＝

mg(R+r)

B2L2

；
（2）棒MN在通过磁场区的过程中产生的焦耳热为E棒电＝

r

R+r

[mg(d0+d)?

m3g2(R+r)2

2B4L4

]；
（3）d0＝

m2g(R+r)2

2B4L4

时，棒进入磁场后做匀速直线运动，即d0＜

m2g(R+r)2

2B4L4

时，棒进入磁场后做先加速后匀速直线运动，即d0＞

m2g(R+r)2

2B4L4

时，棒进入磁场后做先减速后匀速直线运动．