Question

如图，已知抛物线y = －x 2 +bx+c与 轴交于A、B（3，0）两点，与 轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的

如图，已知抛物线y = －x 2 +bx+c与 轴交于A、B（3，0）两点，与 轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PAC的周长最小，并求出点P的坐标；

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Answer 1

（1）∵ 抛物线y = －x 2 +bx+c 过B（3，0）C（0，3）两点， ∴c=3,  －9+3b+3=0，解得b=2 ． ∴ 抛物线的解析式为 ， 顶点M为（1，4）．  （2）∵ 点A、B关于抛物线的对称轴对称， ∴ 连结BC与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P 设对称轴与x轴交于点H， ∵ PH∥y轴， ∴ △PHB∽△CBO． ∴ ． 由题意得BH=2，CO=3，BO=3， ∴ PH=2． ∴ P（1，2）．

（1）利用B、C两点坐标求出抛物线的解析式，根据抛物线的性质得出M点坐标； （2）根据A、B关于抛物线的对称轴对称得出AP=BP,那么△PAC的周长最小就是CPB在一条直线上，从而求出P点坐标。