Question

在平面直角坐标系xoy中，设点F（1，0），直线l：x=-1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP

在平面直角坐标系xoy中，设点F（1，0），直线l：x=-1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l．（1）求动点Q的轨迹的方程；（2）记Q的轨迹的方程为E，过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M，N．求证：直线MN必过定点R（3，0）．

Answer 1

（Ⅰ）依题意知，直线l的方程为：x=-1，设直线l与x轴交于点K（-1，0），由OK平行于直线l可得， OR是△FPK的中位线，故点R是线段FP的中点． 又RQ⊥FP，∴RQ是线段FP的垂直平分线．∴|PQ|是点Q到直线l的距离． ∵点Q在线段FP的垂直平分线，∴|PQ|=|QF|． 故动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为：y 2 =4x（x＞0）． （Ⅱ）设A（x A ，y A ），B（x B ，y B ），M（x M ，y M ），N（x N ，y N ），直线AB的方程为y=k（x-1） 则 y A 2 =4 x A (1) y B 2 =4 x B (2) （1）-（2）得 y A + y B = 4 k ，即 y M = 2 k ， 代入方程y=k（x-1），解得 x M = 2 k 2 +1 ．  所以点M的坐标为 ( 2 k 2 +1 ，  2 k ) ． 同理可得：N的坐标为（2k 2 +1，-2k）．    直线MN的斜率为 k MN = y M - y N x M - x N = k 1- k 2 ， 方程为； y+2k= k 1- k 2 (x-2 k 2 -1) ，整理得y（1-k 2 ）=k（x-3）， 显然，不论k为何值，（3，0）均满足方程，所以直线MN恒过定点R（3，0）．