Question

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y ＝－ x 2 ＋ bx ＋c经过点A(0，1)、B（3， ）两点，BC⊥ x

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y ＝－ x 2 ＋ bx ＋c经过点A(0，1)、B（3， ）两点，BC⊥ x 轴，垂足为C．点P是线段AB上的一动点（不与A，B重合），过点P作 x 轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t． (1)求此抛物线的函数表达式；(2)连结AM、BM，设△AMB的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值；(3)连结PC，当t为何值时，四边形PMBC是菱形．（10分）

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Answer 1

（1）    (2) ； 当 （3） 四边形PMBC为菱形。

试题分析：（1）已知抛物线 y ＝－ x 2 ＋ bx ＋c经过点A(0，1)、B（3， ）两点，那么 ，解得 ，所以此抛物线的函数表达式是 （2）BC⊥ x 轴，垂足为C．点P是线段AB上的一动点（不与A，B重合），过点P作 x 轴的垂线交抛物线于点M，交X轴于D点； ，而 ， ；M、P点的横坐标相同，由（1）知抛物线的解析式是 ，所以M的纵坐标为 ；由题知A0=1，BC= ，OD=t，CD=OC-OD=3-t,DM= ,所以 = + - = ， 设△AMB的面积为S， = ，要使 有最大值，那么当且仅当 ，即当 （3）四边形PMBC是菱形，则PM=PC=BC，而由题知BC= ，PM=PC=BC= ，过点P作 x 轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t，M的纵坐标为 ，MD= ，PD=MD-MP= - = ，在 中，由勾股定理得 ，即 ，解得 ，所以 四边形PMBC为菱形 点评：本题考查抛物线，求最值，菱形，要求学生掌握用待定系数法求抛物线的解析式，会用配方法求二次函数的最值，掌握菱形的性质，本题问题多，所涉及的知识面广，计算量比较大，但总体难度不大