Question

已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn．（1）求an及Sn；（2）令bn=2nan（n∈N*），

已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn．（1）求an及Sn；（2）令bn=2nan（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）设等差数列{a_n}，公差为d
∵a₃=7，a₅+a₇=26
∴

a1+2d＝7 2a1+10d＝26

解得a₁=3，d=2
∵an＝a1+(n?1)d，Sn＝

n(a1+an)

2

∴a_n=2n+1，S_n=n（n+2）
（2）由（1）知bn＝2nan=2ⁿ（2n+1）
∴Tn＝3?21+5?22+…+(2n+1)?2n
2T_n=3?2²+5?2³+…+（2n-1）?2ⁿ+（2n+1）?2ⁿ⁺¹
两式相减可得，-T_n=6+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）?2ⁿ⁺¹
=6+

8(1?2n?1)

1?2

?(2n+1)?2n+1
=-2+2ⁿ⁺²-（2n+1）?2ⁿ⁺¹
Tn＝(2n?1)?2n+1+2