Question

已知函数f（x）=ax3-3x2+1-3a（1）若函数f（x）在x=-1时取到极值，求实数a的值；（2）试讨论函数f（x）的

已知函数f（x）=ax3-3x2+1-3a（1）若函数f（x）在x=-1时取到极值，求实数a的值；（2）试讨论函数f（x）的单调性；（3）当a＞1时，在曲线y=f（x）上是否存在这样的两点A，B，使得在点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，若存在，试求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵f（x）=ax³-3x²+1-

3

a

，∴f′（x）=3ax²-6x（a≠0）
∵函数f（x）在x=-1时取到极值，
∴f′（-1）=3a+6=0，解得a=-2，
经检验a=-2时，函数f（x）在x=-1时取到极小值，
∴实数a的值为-2．
（2）由f′（x）=0，得x=0或x=

2

a

，
①当a＜0时，

2

a

＜0，由f′（x）＞0，得

2

a

＜x＜0，
由f′（x）＜0，得x＜

2

a

或x＞0，
∴函数f（x）的单调增区间为（

2

a

，0），单调减区间为（-∞，

2

a

），（0，+∞）．
②当a＞0时，

2

a

＞0，同理可得函数f（x）的单调增区间为（-∞，

2

a

），（0，+∞），
单调减区间为（

2

a

，0）．
（3）假设存在满足要求的两点A，B，
即在点A、B处的切线都与y轴垂直，
则k_A=k_B=0，即f′（x）=3ax²-6x=0，解得x=0或x=

2

a

，
∴A（0，1-

3

a

），B（

2

a

，?

4

a2

+1?

3

a

），
又线段AB与x轴有公共点，∴y_Ay_B≤0，
即（10

3

a

）（-

4

a2

+1?

3

a

）≤0，又a＞1，解得3≤a≤4，
所以当3≤a≤4时，存在满足要求的点A、B．