Question

设（5x-1x）n的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M-N=240，则展开式中x的系数为______

设（5x-1x）n的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M-N=240，则展开式中x的系数为______．

Answer 1

由于（5x-

1

x

）ⁿ的展开式的各项系数和M与变量x无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5-1）ⁿ=4ⁿ．
再由二项式系数和为N=2ⁿ，且M-N=240，可得 4ⁿ-2ⁿ=240，即 2²ⁿ-2ⁿ-240=0．
解得 2ⁿ=16，或 2ⁿ=-15（舍去），∴n=4．
（5x-

1

x

）ⁿ的展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r 4

?（5x）^4-r?（-1）^r?x?

r

2

=（-1）^r?

C

r 4

?5^4-r?x4?

3r

2

．
令4-

3r

2

=1，解得 r=2，∴展开式中x的系数为 （-1）^r?

C

r 4

?5^4-r=1×6×25=150，
故答案为 150?